Questão FC190518
Considere duas sequências: uma formada pelos múltiplos de 9, iniciada pelo número 108, e outra sequência formada pelos múltiplos de 15, iniciada pelo número 105. Qual será o primei
Progressão Aritmética
Instituto AOCP · 2019
- 115
- 120
- 125
- 135
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Vamos desvendar essa questão com um olhar cuidadoso!
Aqui, estamos lidando com as sequências dos múltiplos de 9 e 15, que são como duas trilhas que percorrem um caminho numérico. O primeiro passo é perceber que os múltiplos de 9 começam com \(0, 9, 18, 27, 36, \ldots\) e aqueles de 15 começam com \(0, 15, 30, 45, 60, \ldots\).
É interessante notar que a diferença inicial entre o primeiro múltiplo de 9 (9) e o primeiro múltiplo de 15 (15) é de 6 unidades. Isso nos dá uma pista!
O primeiro ponto onde essas trilhas se cruzam surge quando o primeiro múltiplo de 9.
Poderíamos pensar em suas interseções sucessivas. Em outras palavras, precisamos encontrar o primeiro múltiplo que é divisor de ambos, ou seja, o mínimo múltiplo comum (MMC) de 9 e 15.
O MMC pode ser calculado via fatores primos, assim, teremos \(9 = 3^2\) e \(15 = 3^1 \cdot 5^1\), resultando em \(MMC = 3^2 \cdot 5 = 45\).
Portanto, a primeira intersecção entre os múltiplos de 9 e 15 ocorre no número 45.
Contudo, a pergunta solicita o primeiro múltiplo que é comum e maior, que será \(45 \times 3 = 135\) já que 45 é o primeiro.
Concluímos com alegria que a resposta correta é 135! Vamos conferir? Contando nas sequências de 9 e 15 mais um tempo: \(9 \cdot 15 = 135\) e \(15 \cdot 9 = 135\) também. Gabarito, let it be D!
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