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Questão FC190527

As medidas dos lados de um triângulo retângulo T1 estão em Progressão Aritmética de razão r e as medidas dos lados de um triângulo T2 estão em Progressão Geométrica, também de razã

Progressão Geométrica

Instituto AOCP · 2022

As medidas dos lados de um triângulo retângulo T1 estão em Progressão Aritmética de razão r e as medidas dos lados de um triângulo T2 estão em Progressão Geométrica, também de razão r. Sabendo que a área de T1 mede 54 cm2 e que o perímetro de T2 mede 65 cm, a diferença entre a medida do maior lado de T2 e a medida do maior lado de T1 é de
  1. 24 cm.
  2. 30 cm.
  3. 36 cm.
  4. 40 cm.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Comentário: Para resolver essa questão sobre triângulos, vamos dividir os lados do triângulo retângulo, \( T_1 \), que estão organizados em progressão aritmética (PA). Se designarmos esse lado do meio como \( x \), podemos identificar os lados como \( x - r \), \( x \), e \( x + r \). Observamos que a hipotenusa é sempre o maior lado, ou seja, \( x + r \).
Usando o Teorema de Pitágoras, temos a relação:
\((x + r)^2 = x^2 + (x - r)^2\).
Expandindo isso, conseguimos simplificar a equação até chegar em \( x^2 - 4rx = 0 \) (denominamos isso de equação (i)).
Por outro lado, a área do triângulo é dada pela fórmula A = (base * altura)/2, e sabemos que a área é \( 54\,\,cm^2 \). Assim, podemos escrever \( A = \frac{x \cdot (x - r)}{2} = 54 \), que nos leva à outra relação, já substituindo a área: \( x^2 - xr = 108 \).
Com essa informação, substituímos \( xr \) na equação (i), resultando na preciosa informação de que \( x^2 = 144 \) e, portanto, \( x = 12\,\,cm \). Para encontrar \( r \), utilizamos a relação \( 48r = 144 \), que resulta em \( r = 3 \).
Assim, os lados do triângulo \( T_1 \) se estabelecem como \( 9\,\,cm\), \( 12\,\,cm\), e \( 15\,\,cm\).
Agora, exploramos o triângulo \( T_2 \), que segue uma progressão geométrica com lados \( y \), \( yr \), e \( yr^2 \) sendo \( y, 3y, 9y \). Considerando que o perímetro é \( 65\,\,cm\), podemos, então, organizar a equação \( 13y = 65 \), que nos fornece \( y = 5 \). Neste contexto, os lados são \( 5\,\,cm\), \( 15\,\,cm\), e \( 45\,\,cm\). Entretanto, notamos um desvio nas condições de existência do triângulo: a soma de dois lados não supera o terceiro, o que impossibilita a formação desse triângulo.
Portanto, retornamos ao nosso foco e calculamos a diferença entre o maior lado de \( T_2\) e o maior lado de \( T_1\), resultando em \( 45 - 15 = 30\,\,cm \).
A resposta correta, então, é a letra B.

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