Questão FC190529
Três máquinas de reciclagem são ligadas simultaneamente, porém cada uma tem um tempo de espera para efetivamente começar a funcionar. Considere que os três tempos de espera, em seg
Progressão Geométrica
Instituto AOCP · 2020
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Comentário do professor
Comentário: Para resolver esse enigma sobre os tempos de espera das máquinas de reciclagem, começamos por entender as condições apresentadas: temos três tempos distintos que precisam formar uma progressão geométrica e cujo produto é igual a 729 e a soma é 39.
Primeiramente, vamos fatorar o número 729 em seus primos: \( 3^6 = 729 \). Isso indica que as combinações dos três tempos são formadas por potências de 3. A representação mais clara seria considerar \( 3^a, 3^b \) e \( 3^c \), onde \( a, b, c \) são inteiros e \( a < b < c \). Para que a soma seja 39, podemos construir as equações:
\( 3^a + 3^b + 3^c = 39 \) e \( 3^a \times 3^b \times 3^c = 729 \).
Agora, por conta da progressão geométrica, podemos assumir que \( 3^a = x \), onde os outros dois tempos seriam \( 3^{a+d} = 3x \) e \( 3^{a+2d} = 9x \), assim, a soma se torna \( x + 3x + 9x = 13x = 39\), levando a \( x = 3 \). Portanto, os tempos são \( 3, 9, 27 \) segundos.
Com essas informações, observamos que o maior tempo de espera das máquinas é, sem dúvida, 27 segundos. Assim, a resposta correta é a letra E.
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