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Questão FC190547

Um atirador bastante experiente deseja fazer uma demonstração de suas habilidades com uma arma de altíssima precisão. Para isso, lançará uma moeda de R$0,05, em trajetória parabóli

Funções e Inequações

Instituto AOCP · 2024

Um atirador bastante experiente deseja fazer uma demonstração de suas habilidades com uma arma de altíssima precisão. Para isso, lançará uma moeda de R$0,05, em trajetória parabólica, seguindo a equação que relaciona a altura H ao deslocamento horizontal x pela expressão H(x) = 30x−x2. O atirador considera que terá êxito em sua demonstração se atingir a moeda, com uma bala de prata, no ponto mais alto de sua trajetória. Considerando que a trajetória da bala de prata seja retilínea e que o disparo seja feito do mesmo lugar em que se lança a moeda, determine a inclinação em que deve ser feito o disparo, em relação à horizontal, para que a demonstração seja exitosa.
  1. α tal que tg α = 15
  2. α tal que tg α = 12
  3. α tal que tg α = 30
  4. α tal que tg α = 24
  5. α tal que tg α = 18
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Gabarito

A

Comentário do professor

Comentário: Para simplificar o entendimento da situação, vamos imaginar a trajetória de um projétil como uma bela curva, a qual podemos chamar de parábola.
A inclinação inicial do lançamento é crucial para determinarmos o comportamento desse projétil.
Aqui, estamos buscando o que chamamos de coeficiente angular, que é a relação entre a altura e a distância do projétil em seu ponto mais alto.
Isso é representado pela fórmula \(m = \tan \alpha\), onde \(\alpha\) é o ângulo de disparo.
Dentro desse conceito, a tangente do ângulo \(\alpha\) é definida pela razão entre as medidas do cateto oposto (altura) e do cateto adjacente (distância).
Assim, podemos expressar isso como \( \tan \alpha = \dfrac{y_v}{x_v} \), onde \( y_v \) e \( x_v \) são as coordenadas do vértice da parábola.
Calculando a posição do vértice usando a fórmula \(x_v=\dfrac{-b}{2a}\) e \(y_v=\dfrac{-(b^2 - 4ac)}{4a}\), ao substituirmos os valores \(a = -1\), \(b = 30\) e \(c = 0\), encontramos 15 para \(x_v\) e 225 para \(y_v\).
Assim, temos que \( \tan \alpha = \dfrac{225}{15} \), resultando em um coeficiente de 15.
Portanto, a resposta correta é a letra A, evidenciando a relação clara entre a trajetória e a inclinação do disparo.

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