Questão FC190552
Seja f : R → R uma função polinomial do 2º grau que satisfaz às seguintes condições relativas ao gráfico de f: intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 3); tem vértice Nessas c
Funções e Inequações
Instituto AOCP · 2022
- intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 3);
- tem vértice
- 5
- 7
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Para abordar a função polinomial do 2º grau, representamos como \( f(x) = ax^2 + bx + c \). A interseção do gráfico com o eixo vertical, também conhecido como eixo das ordenadas, é dada pelo coeficiente \( c \). Por exemplo, se \( f(0) = 3 \), então \( c = 3 \). Assim, a função se torna \( f(x) = ax^2 + bx + 3 \).
Além de \( c \), temos o significativo ponto do vértice, que fornece informações valiosas sobre o comportamento da função. Supondo que o vértice esteja em \((-2, \frac{5}{2})\), podemos afirmar que \( f(-2) = \frac{5}{2} \). Ao substituirmos, obtemos a equação: \( 4a - 2b + 3 = \frac{5}{2} \) , permitindo a criação de relações entre \( a \) e \( b \).
A partir da fórmula para a coordenada \( x \) do vértice, onde \( x_v = \frac{-b}{2a} \), e sabendo que \( x_v = -2 \), reparamos que isso nos leva a \( -b = -4a \) ou seja, \( b = 4a \).
Substituindo essa expressão na equação anterior, podemos facilmente encontrar \( a \) e, em seguida, determinar \( b \), como \( a = \frac{1}{8} \) e \( b = \frac{1}{2} \). Com os coeficientes definidos, a função completa se torna: \( f(x) = \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \) . Finalmente, para descobrir o valor de \( f(4) \), calculamos: \( f(4) = \frac{1}{8} \cdot 16 + \frac{1}{2} \cdot 4 + 3 = 2 + 2 + 3 = 7 \) . Portanto, a resposta correta é Alternativa D.
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