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Questão FC190562

a lei da oferta e da procura, uma empresa encontrou uma fórmula que acreditava ser capaz de determinar a relação entre o preço “x” da mercadoria e a quantidade “y” de milhões de un

Funções e Inequações

Instituto AOCP · 2021

a lei da oferta e da procura, uma empresa encontrou uma fórmula que acreditava ser capaz de determinar a relação entre o preço “x” da mercadoria e a quantidade  “y” de milhões de unidades vendidas da mesma mercadoria. Tal expressão era caracterizada algebricamente por y = f(x) = −x2 + 10x−16 e permitia, através do domínio e do conjunto imagem da função, determinar a relação entre preço e quantidade, apontando, inclusive, a maior quantidade de unidades vendidas.

Assinale a alternativa em que figura a representação precisa do conjunto imagem da função.
  1. y > 9
  2. y < 9 
  3. y ≤ 9 
  4. 0 ≤ y ≤ 9
  5. 0 < y < 9
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Gabarito

D

Comentário do professor

Comentário: Vamos desbravar a função quadrática em questão, que nos traz uma rica possibilidade de compreender o comportamento de suas variáveis. Primeiramente, note que o coeficiente \( a \) é negativo, ou seja, \( a < 0 \). Isso implica que a forma da parábola é voltada para baixo, o que significa que a função atingirá um valor máximo, que será encontrado no vértice da parábola.
Para determinarmos esse valor máximo, calculamos a coordenada \( y \) do vértice usando a fórmula \( y_v = -\frac{\Delta}{4a} \). Aqui, \( \Delta \) é o discriminante, dado por \( \Delta = b^2 - 4ac \). No nosso exemplo, utilizando os valores fornecidos, encontramos que \( y_v = -\frac{10^2 - 4(-1)(-16)}{4(-1)} \), resultando em \( y_v = 9 \).
Como a parábola se abre para baixo, isto significa que todos os valores da função permanecerão abaixo de 9, todavia, não podemos esquecer de que estamos lidando com uma situação onde a quantidade de mercadorias vendidas não pode ser negativa. Assim, o intervalo da imagem de nossa função fica restrito entre 0 e 9. Utilizando esses insights, podemos afirmar que o conjunto imagem da função é descrito por \( Im = \{ y \in \mathbb{R} \mid 0 \leq y \leq 9 \} \). Portanto, a conclusão se solidifica e o gabarito é: D.

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