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Questão FC190565

Algumas funções têm restrições impostas ao seu domínio por conta de características interpretativas, tais como as funções que dependem do tempo (que não pode ser negativo) ou as qu

Funções e Inequações

Instituto AOCP · 2022

Algumas funções têm restrições impostas ao seu domínio por conta de características interpretativas, tais como as funções que dependem do tempo (que não pode ser negativo) ou as que se referem à base de um logaritmo em certa expressão algébrica, por exemplo. Outras restrições são impostas por conta de radicais ou quocientes que a função possivelmente tenha. Dessa forma, ao calcular o domínio de cada uma das funções  e , é correto afirmar que o único intervalo que satisfaz os domínios das duas funções, simultaneamente, é
  1. [2,4]
  2. [1,3[
  3. ]2,3[
  4. ]1,4]
  5. [3,4]
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Vamos desvendar essa questão que, à primeira vista, pode parecer complicada, mas na verdade é bem lógica ao analisarmos com atenção!
Inicialmente, precisamos focar nas funções apresentadas, identificando onde cada uma delas pode atuar.
Para a função \( f(x) = \frac{6x - 9}{x - 2} + \frac{5 - 2x}{x - 3} \), a atenção deve ser redobrada com o denominador.
Ele não pode se igualar a zero, pois isso tornaria a função indefinida. Assim, temos as restrições: \( x - 2 \neq 0 \) e \( x - 3 \neq 0 \), o que nos leva a \( x \neq 2 \) e \( x \neq 3 \).
Dessa forma, afirmamos que o domínio da função \( f \) é o conjunto dos números reais, excluindo 2 e 3, simbolicamente: \( D(f) = \mathbb{R} - \{2, 3\} \).
Agora, vamos ver as opções dadas e eliminar aquelas que incluem 2 ou 3, já que não podem fazer parte do domínio!
A solução que resta, o intervalo \( ]2, 3[ \), atende nosso objetivo!
Mas não podemos parar por aqui! A função \( g(x) = \sqrt{-x^2 + 5x - 6} \) também demanda uma investigação quanto ao seu domínio.
Como é uma função de raiz quadrada, o radicando deve ser maior ou igual a zero, ou seja, precisamos resolver a inequação \( -x^2 + 5x - 6 \geq 0 \).
Multiplicando por -1, que inverte a inequação, obtemos \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \).
Com isso, podemos determinar as raízes da equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) usando a fórmula de Bhaskara, resultando em \( x_1 = 2 \) e \( x_2 = 3 \).
Portanto, o domínio da função \( g \) é \( D(g) = [2, 3] \), mas ao considerarmos a interseção dos domínios de \( f \) e \( g \), apenas o intervalo \( ]2, 3[ \) é viável!
A escolha correta, portanto, é a alternativa que representa este intervalo, que nos leva à letra C!

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