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Questão FC190569

Considere 𝒙 um número real, sendo S1 o conjunto solução da inequação x2−x−6 < 0 e S2 o conjunto solução da inequação x2−3x−4 > 0. A intersecção de S1 com S2 resultará em um conjunt

Funções e Inequações

Instituto AOCP · 2020

Considere 𝒙 um número real, sendo S1 o conjunto solução da inequação x2−x−6 < 0 e S2 o conjunto solução da inequação x2−3x−4 > 0. A intersecção de S1 com S2 resultará em um conjunto S3, tal que 
  1. S3 = x ∈ R| −2 < x < −1
  2. S3 = x ∈ R| −1 < x < 3
  3. S3 = x ∈ R|3 < x < 4
  4. S3 = x ∈ R| − 3 < x < −2
  5. S3 = x ∈ R|1 < x < 3
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Gabarito

A

Comentário do professor

Comentário: Vamos analisar a solução das inequações propostas para entender por que o gabarito é o correto.
Primeiramente, consideramos \( S_1 \) e \( S_2 \) como as soluções das inequações \( x^2 - x - 6 < 0 \) e \( x^2 - 3x - 4 > 0 \), respectivamente.
Para encontrar as raízes de \( x^2 - x - 6 = 0 \), aplicamos a fórmula de Bhaskara: \( Δ = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \). As soluções são \( x = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = 3 \) e \( x = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = -2 \).
Dado que o coeficiente líder é positivo, a parábola abre para cima, e a inequação \( x^2 - x - 6 < 0 \) é verdadeira no intervalo \( (-2, 3) \).
Agora, examinamos a segunda inequação, \( x^2 - 3x - 4 > 0 \). Calculamos suas raízes: \( Δ = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). As raízes são \( x = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) e \( x = \frac{3 - 5}{2} = -1 \).
Aqui, o gráfico também se abre para cima, mas buscamos onde a expressão é positiva, resultando nas condições \( x < -1 \) ou \( x > 4 \), que correspondem aos intervalos \( (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \).
A intersecção entre \( S_1 \) e \( S_2 \) nos leva a \( (-2, -1) \). Essa abordagem metódica, utilizando cálculo de raízes e análise gráfica, confirma a resposta correta, que é a alternativa A.

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