Questão FC190573
Sobre funções logarítmicas, assinale a alternativa correta.
Funções e Inequações
Instituto AOCP · 2022
- Se f(x) = log(x), então f(10x) = 10f(x) para todo x real positivo.
- Se f(x) = log(x), então f(x2) = [f(x)]2 apenas para dois valores de x reais.
- Se f(x) = log(−x)−, então
, para todo x real e x ≠ 0. - Se f(x) =
então Dom(f) = {x ∈ R /x≤ -1 ou x ≥ 1}. - A taxa média de variação da função f(x) = log(x)quando x varia de 1 a 10 é a décima parte da taxa média de variação dessa função quando x varia de 10 a 100.
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Gabarito
B
Comentário do professor
Comentário: Nesta questão, precisamos explorar as propriedades da função logarítmica. Vamos analisar as opções apresentadas para descobrir qual delas é verdadeira.
A alternativa b) sugere que, se temos \( f(x) = \log(x) \), então \( f(x^2) = [f(x)]^2 \) para apenas dois valores de \( x \). Vamos confirmar isso: substituímos na expressão original, resultando em \( \log(x^2) = [\log(x)]^2 \). Usando a propriedade logarítmica, sabemos que \( \log(x^2) = 2\log(x) \). Logo, nos restaria verificar quando \( 2\log(x) = (\log(x))^2 \). Essa é uma equação quadrática em forma de \( (\log(x))^2 - 2\log(x) = 0 \), que podemos fatorar: \( \log(x)(\log(x) - 2) = 0 \).
Assim, temos duas soluções: \( \log(x) = 0 \) que nos dá \( x = 1 \) e \( \log(x) = 2 \) que nos leva a \( x = 100 \). Portanto, realmente encontramos apenas dois valores de \( x \) que atendem à condição da igualdade.
Essa análise confirma que a alternativa b) é a correta, pois o domínio é restrito apenas a esses dois casos.
Assim, as demais opções não atendem às especificações propostas, levando-nos a concluir que a seleção adequada é a letra b).
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