Questão FC190578
Qual é o intervalo que corresponde a solução da inequação 0,25x−1 < √32 ?
Funções e Inequações
Instituto AOCP · 2022
- -4, ∞
- 4, ∞
, ∞
, ∞- −∞,−
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para resolver a inequação exponencial apresentada, é essencial que comecemos reescrevendo os elementos de forma que possamos compará-los diretamente. Este tipo de problema muitas vezes envolve manipulações que nos levam a uma representação comum. A inequação inicial pode ser expressa como uma relação entre potências, e para isso vamos transformar os números em bases semelhantes.
A primeira etapa consiste em reconhecer que \(0,25\) pode ser escrito como \(\frac{1}{4}\), que por sua vez é \(4^{-1}\) ou \((2^{-2})\). Também devemos considerar que a raiz quadrada é uma forma de potência, representada como \(x^{1/2}\). Com isso, podemos transformar nossa inequação na forma essencial seguindo a regra das potências.
Vamos expressar a inequação como: \((4)^{x-1} < 32^{1/2}\). Agora, mantendo as bases consistentes, saberemos que \(32\) é \(2^{5}\), o que nos permite escrever a inequação como \((2^{-2})^{x-1} < (2^{5})^{1/2}\). Aplicando a regra da multiplicação dos expoentes, obtemos \(2^{-2(x-1)} < 2^{5/2}\).
Com as duas partes com mesma base, o próximo passo é comparar os expoentes: \(-2(x-1) < 5/2\). Isso nos leva à equação que simplificamos para encontrar a variável. Passamos a resolver a inequação passo a passo, isolando a variável e tendo o cuidado de lembrar que sempre que multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte.
O resultado final nos apresenta uma solução que representamos como um intervalo, tornando evidente onde a inequação se mantém válida. Portanto, a resposta correta, que reflete todas essas transformações e ajustes, é crucial para uma boa compreensão do conceito. Assim, a resposta final é: C.
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