Questão FC190580
Considere que D é o domínio da função real Se ℤ representa o conjunto dos números inteiros, então o número de elementos do conjunto D ∩ Z é igual a
Funções e Inequações
Instituto AOCP · 2023
Se ℤ representa o conjunto dos números inteiros, então o número de elementos do conjunto D ∩ Z é igual a
- 3.
- 5.
- 1.
- 4.
- 0.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comentário: Para determinar os inteiros que fazem parte do domínio da função em questão, precisamos examinar algumas condições fundamentais. Primeiro, focamos no numerador da expressão, onde temos uma raiz de índice par. Isso significa que a expressão que está sob a raiz precisa ser maior ou igual a zero. Logo, devemos resolver a desigualdade \(-x^2 + 6x - 5 \geq 0\). Se multiplicarmos por \(-1\), lembrando que isso inverte o sinal, chegamos à forma \(x^2 - 6x + 5 \leq 0\). Utilizando a técnica das raízes, buscamos dois números que somam 6 e se multiplicam por 5, que são 1 e 5, resultando nas raízes \(x = 1\) e \(x = 5\). Como a parábola abre para cima, a condição é satisfeita no intervalo \(1 \leq x \leq 5\).
Em seguida, vamos ao denominador, onde precisamos garantir que a expressão não seja zero, ou seja, \(x^2 - 7x + 12 \neq 0\). Aqui, aplicamos a busca pelos números que possuem soma 7 e produto 12, que são 3 e 4. Portanto, os valores que devemos evitar são \(x = 3\) e \(x = 4\).
Com esses dados em mãos, nosso domínio inicial, que era \(D = [1, 5]\), agora fica restrito ao excluir os números 3 e 4, permitindo assim apenas os inteiros 1, 2 e 5. Finalmente, a questão nos pede a contagem dos números inteiros dentro desse domínio. Conclusivamente, contamos três inteiros válidos. Sendo assim, o número total de elementos que pertencem ao conjunto \(D \cap Z\) é 3, conforme indicamos. O gabarito correto é, portanto, a letra A.
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