Questão FC190586
Se com < x< π, então o valor de cotg(x) – cos(x) é igual a
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Instituto AOCP · 2022
com 
< x< π, então o valor de cotg(x) – cos(x) é igual a
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comentário: Para compreender a resposta correta, precisamos recorrer a um conceito fundamental da trigonometria, que é a identidade pitagórica. Essa identidade estabelece que \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Vamos considerar um ângulo \( x \) em um círculo unitário; a coordenada \( y \) representa \( \sin x \) e a coordenada \( x \) representa \( \cos x \).
Agora, se tomarmos um valor específico, por exemplo, \( \sin x = \frac{\sqrt{5}}{5} \), podemos aplicar essa identidade. Ao substituir na fórmula principal, temos:
\( \cos^2 x = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 \). Essa operação se desdobra da seguinte forma: \( \cos^2 x = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5-1}{5} = \frac{4}{5} \).
Daí, ao despejar a raiz, entendemos que \( \cos x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} \).
Ao considerar o quadrante em que estamos, que é o segundo, sabemos que \( \cos x \) é negativo, portanto, obtemos \( \cos x = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \).
Agora, com \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \), e usando \( \sin x = \frac{\sqrt{5}}{5} \), podemos simplificar a expressão \( \cot x - \cos x \). Ao fazer isso, encontramos:
\( \cot x = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} \), e finalmente realizar a operação nos dá como resposta a letra A, que se alinha perfeitamente com a solução correta.
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