Questão FC190587
O valor do ângulo 𝒙, tal que 0 < x < 90 º e que satisfaz a equação 2.cos2x−3. cos x+1 = 0 , também satisfaz a equação – √3 tg x = .
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Instituto AOCP · 2020
- cossec x = 3.
- sec x = 2.
- cotg x = 3.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Para resolver a questão proposta, começamos identificando o ângulo \( x \) que se encontra na faixa de \( 0 < x < 90^\circ \) e que obedece à equação 2cos^2 x - 3cos x + 1 = 0. Podemos simplificar essa análise ao substituir \( cos x \) por \( y \), transformando a equação em um formato mais gerenciável: 2y^2 - 3y + 1 = 0. Aqui, o próximo passo é calcular o discriminante \( \Delta \), que nos permite determinar as raízes dessa equação quadrática. O discriminante é calculado como \( \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \). Com esse valor, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara, resultando nas raízes \( y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \left\{ \frac{4}{4}, \frac{2}{4} \right\} = \{1, \frac{1}{2}\} \). Importante ressaltar que como \( x \) está no primeiro quadrante, descartamos \( cos x = 1 \), que corresponderia a um ângulo de \( 0^\circ \). Assim, a única solução viável é \( cos x = \frac{1}{2} \), o que nos leva a \( x = 60^\circ \). Agora, avaliamos as alternativas:
a) \( tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \) (INCORRETO), pois \( tg(60^\circ) = \sqrt{3} \);
b) \( sen x = \frac{1}{2} \) (INCORRETO), já que \( sen(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
c) \( cossec x = 3 \) (INCORRETO), visto que \( cossec x = \frac{1}{sen x} = \frac{2}{\sqrt{3}} \);
d) \( sec x = 2 \) (CORRETO), pois \( sec x = \frac{1}{cos x} \) resulta em \( sec(60^\circ) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \);
e) \( cotg x = 3 \) (INCORRETO), pois \( cotg x = \frac{1}{tg x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Portanto, a alternativa correta é a letra D.
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