Questão FC190597
Se A , B e C são matrizes de ordem 3, AxC= B-1,C = 4A e det B =16, então det A é igual a: 1 1
Determinantes
Instituto AOCP · 2022
1 1
- -4 ou 4.
- - 2 ou 2.
- - 1 ou 1.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a resposta está correta, vamos considerar o cenário apresentado. Temos as matrizes A, B e C de ordem 3, e a relação A × C = B⁻¹. Se aplicarmos o determinante em ambos os lados dessa equação, obtemos a seguinte relação: det(A × C) = det(B⁻¹).
De acordo com o Teorema de Binet, podemos afirmar que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes, ou seja: det(A × C) = det(A) × det(C).
Agora, ao substituirmos na equação, teremos det(A) × det(C) = det(B⁻¹). Mas, para saber quanto vale det(B), devemos lembrar que det(B) = 1/det(B⁻¹), o que significa que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original.
Sabemos também que C é igual a 4 × A. Quando multiplicamos uma matriz de ordem n por um escalar k, o determinante é multiplicado por k^n. Aqui, n = 3, então det(C) = 4^3 × det(A) = 64 × det(A).
Substituindo isso em nossa equação anterior det(A) × (64 × det(A)) = 1/det(B), simplificamos e encontramos que (det(A))^2 = 1/64, resultando em det(A) = ±1/8. Assim, nossa escolha correta é a alternativa que apresenta det(A) dentro do intervalo esperado. Portanto, chegamos à resposta esperada devido à utilização correta das propriedades dos determinantes.
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