Questão FC190598
Dadas duas matrizes A e B, quadradas de ordem 4, com det(A) = - 1 e det(B) = 16, assinale a alternativa que apresenta o valor de det (3.AT.2.B-1), em que AT é a matriz transposta d
Determinantes
Instituto AOCP · 2022
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a fascinante relação entre determinantes e operações matriciais.
Sabemos que ao lidarmos com produtos de matrizes, usamos a propriedade fundamental: \( \text{det}(A \cdot B) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) \). Portanto, para calcular \( \text{det}(3A^T \cdot 2B^{-1}) \), podemos desmembrar isso em partes menores.
Primeiramente, devemos considerar a multiplicação por um escalar. Quando multiplicamos uma matriz de ordem \( n \) por um número real \( k \), a propriedade diz que o determinante se multiplica por \( k^n \). Isso nos leva a: \( \text{det}(3A^T) = 3^4 \cdot \text{det}(A^T) \) e \( \text{det}(2B^{-1}) = 2^4 \cdot \text{det}(B^{-1}) \).
Em seguida, lembramos que a propriedade da transposição mantém o determinante: \( \text{det}(A^T) = \text{det}(A) \), e a inversa de uma matriz nos dá \( \text{det}(B^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(B)} \).
Agora, substituindo tudo na fórmula, chegamos a: \( \text{det}(3A^T \cdot 2B^{-1}) = 3^4 \cdot \text{det}(A) \cdot 2^4 \cdot \frac{1}{\text{det}(B)} \).
Com os valores de determinantes conhecidos e aplicando as potências corretamente, encontramos o resultado final: \( -81 \).
Portanto, a resposta correta é a letra C.
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