Questão FC190600
Considerando que os determinantes das matrizes A e B são iguais, em que assinale a alternativa que apresenta todos os valores de x que verificam essa igualdade.
Determinantes
Instituto AOCP · 2022
assinale a alternativa que apresenta todos os valores de x que verificam essa igualdade.
- {2}
- {6}
- {−2; 2}
- {−6; 6}
- {2; 6}
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Para entendermos por que a resposta correta é a que se apresenta, vamos voltar ao conceito fundamental dos determinantes de matrizes. Lembre-se de que se duas matrizes têm determinantes iguais, seus valores detA e detB se igualam. Isso é crucial.
Considerando as matrizes \( A \) e \( B \), temos os seus determinantes estabelecidos como: \( \begin{vmatrix} x & 4 \\ 7 & x \end{vmatrix} \) e \( \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \). Para calcular o determinante da matriz \( A \), aplicamos a regra do produto cruzado, resultando em: \( x \cdot x - 7 \cdot 4 \), que se simplifica para \( x^2 - 28 \). Já para a matriz \( B \), obtemos \( 2 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) \), equivalente a \( 4 + 4 = 8 \).
Assim, estabelecemos a equação \( x^2 - 28 = 8 \). Isso nos leva a \( x^2 = 8 + 28 \) e, portanto, \( x^2 = 36 \). Ao buscar as raízes dessa equação, encontramos que \( x = \pm 6 \), o que nos explica que as soluções são os números -6 e 6. Portanto, o conjunto de soluções é \( S = \{-6, 6\} \), corroborando a alternativa correta, que se classifica como a letra D.
Compreender a dinâmica dos determinantes não é apenas uma questão de cálculo, mas também nos oferece uma perspectiva sobre a relação entre diferentes matrizes e como elas influenciam seus resultados. Assim, o conhecimento dessa teoria se torna um poderoso aliado na resolução de problemas semelhantes.
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