Questão FC190601
Sabendo que as matrizes A e B têm ordem 3 e são tais que det(A) = 2 e det(B) = 3, assinale a alternativa que apresenta o valor de det(3A × 2B)
Determinantes
Instituto AOCP · 2022
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para analisarmos o valor de det(3A×2B), precisamos primeiro entender algumas propriedades fundamentais dos determinantes e como elas interagem com operações de escala. Sabemos que as matrizes A e B possuem ordem 3, o que significa que elas são quadradas e têm dimensões 3x3.
Primeiramente, utilizamos a regra do determinante para produtos de matrizes, que afirma que o determinante de um produto de matrizes é o produto de seus determinantes: \( det(X × Y) = det(X) × det(Y) \). Com isso, podemos deduzir que:
\( det(3A×2B) = det(3A) × det(2B) \). Agora, precisamos aplicar a propriedade que diz que, se um escalar k multiplica uma matriz de ordem n, o determinante dessa nova matriz é multiplicado por \( k^n \). Assim, no nosso caso, temos:
\( det(3A) = 3^3 × det(A) \) e \( det(2B) = 2^3 × det(B) \). Agora, substituímos os valores conhecidos dos determinantes: \( det(A) = 2 \) e \( det(B) = 3 \). Então, calculamos:
\( det(3A×2B) = 27 × 2 × 8 × 3 = 432 \). Portanto, a única escolha correta é a alternativa que representa essa resposta. Logo, o resultado final é que o determinante de \( 3A × 2B \) resulta em um valor que confirma a nossa análise, levando-nos à conclusão correta.
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