Questão FC190602
Sejam e sabendo que det A = 2 e det B = 0 , é correto afirmar que
Determinantes
Instituto AOCP · 2022
e 
sabendo que det A = 2 e det B = 0 , é correto afirmar que
- x + y = −9 ou x + y =11.
- x + y =11.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão com atenção, começando pela informação importante que temos: \(\det A=2\). Isso nos leva a aplicar a regra de Sarrus para calcular a determinante da matriz formada por logaritmos. Novamente, estabelecendo a relação, obtemos a seguinte equação:
\(\begin{vmatrix} \log x & \log y \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2\).
Calculando essa determinante, temos: \(2 \cdot \log x - 1 \cdot \log y = 2\).
Rearranjando nossa equação, encontramos que \(\log x^2 - \log y = 2\), que pode ser reescrita como \(\log \frac{x^2}{y} = 2\).
Aplicando a definição dos logaritmos, sabemos que isso implica que \(\frac{x^2}{y} = 10^2\), o que simplifica para \(\frac{x^2}{y} = 100\) (vamos marcar isso como (i)).
Agora, vamos para a segunda matriz com \(\det B=0\), onde montamos a matriz \(\begin{vmatrix} \log y & \log x \\ 0 & 1\end{vmatrix}\).
Aqui, calculamos e obtemos: \(1 \cdot \log y - 0 \cdot \log x = 0\), levando a \(\log y = 0\) e, assim, \(y = 10^0 = 1\).
Substituindo esse valor na equação (i), temos \(\frac{x^2}{1} = 100\), resultando na solução \(x^2 = 100\). Portanto, \(x\) tem duas possibilidades: \(x = \pm 10\).
Contudo, precisamos garantir a condição das funções logarítmicas, que requer \(x > 0\). Isso nos orienta para escolher apenas \(x = 10\).
Finalmente, somando os valores \(x + y\), temos \(10 + 1 = 11\).
Assim, a opção correta é \(11\), correspondendo à letra D. Pronto!
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