Questão FC190612
Considere que o número de termos do desenvolvimento de um binômio de Newton seja igual a 𝒛 + 𝟕. Então, é correto afirmar que o expoente desse binômio será igual a
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
Instituto AOCP · 2020
- 𝑧 + 2.
- 𝑧 + 4.
- 𝑧 + 6.
- 𝑧 + 8.
- 8.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender a relação entre o número de termos de um binômio e seu expoente, precisamos primeiramente considerar a forma geral desse binômio: \((x+y)^n\).
Quando realizamos a expansão desse binômio pelo Teorema de Newton, obtemos uma soma que pode ser expressa como:
\( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^{k} \).
Aqui, o índice \(k\) varia de 0 a \(n\), resultando em \((n+1)\) termos distintos.
Isso acontece porque estamos contando todos os diferentes combinações de \(x\) e \(y\) que podemos obter dentro da expansão.
Portanto, se a quantidade de termos é dada por \(z + 7\), e sabemos que essa contagem é sempre igual a \(n + 1\), podemos igualar as duas expressões:
\(z + 7 = n + 1\).
Ao resolver essa equação, obtemos que o expoente \(n\) é dado por \(n = z + 6\).
Assim, a resposta correta para o expoente do binômio é \(z + 6\), o que confirma a opção correta do enunciado D.
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