Sejam 𝒎, 𝒏, 𝒑 e 𝒒 as raízes do polinômio P(x) = x4 − 14x3 + 71x2 − 154x + 120 , tal que m < n < p < q . Considere que m, n e q sejam as medidas, em centímetros, do comprimento, da

Gabarito

A

Comentário do professor

Comentário: Vamos explorar a relação entre as raízes do polinômio \(P(x) = x^4 - 14x^3 + 71x^2 - 154x + 120\), que são representadas por \(m\), \(n\), \(p\) e \(q\), onde \(m < n < p < q\). Para determinar o produto dessas raízes, utilizamos uma importante relação: o produto das raízes de um polinômio do quarto grau é dado por \(\frac{e}{a}\), onde \(e\) é o termo constante e \(a\) é o coeficiente do maior grau. Assim, temos:

\(m \cdot n \cdot p \cdot q = \frac{120}{1} = 120\)

Ao fatorar 120, obtemos \(2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1\). Observando que temos 4 raízes e 5 fatores na decomposição, concluímos que uma das raízes deve ser \(2^2\), pois se fossem todas diferentes, isso não seria possível.
Portanto, deduzimos que as raízes devem ser \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\).
Agora, considerando essas raízes como dimensões de um paralelepípedo, e \(p\) como a aresta de um cubo, calculamos as volumes: \( volume\ do\ cubo = p^3 \) e \( volume\ do\ paralelepípedo = m \cdot n \cdot q \). Assim, a diferença de volumes fica:
\(p^3 - (m \cdot n \cdot q) = (4 \text{ cm})^3 - (2 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm}) = 64 \text{ cm}^3 - 30 \text{ cm}^3 = 34 \text{ cm}^3\). Portanto, a resposta correta é a alternativa A.