Questão FC190623
Considere o triângulo retângulo ABC, retângulo em A. Sabe-se que e que a medida da bissetriz interna relativa ao ângulo é igual a 5√3. Nessas condições, a medida do lado AC, oposto
Geometria Plana
Instituto AOCP · 2021
e que a medida da bissetriz interna relativa ao ângulo 
é igual a 5√3.Nessas condições, a medida do lado AC, oposto ao vértice B, é
- 15√2u.
- 15√3u.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a opção escolhida está correta, vamos explorar alguns conceitos fundamentais de geometria. Primeiro, é importante saber que a bissetriz de um ângulo é aquela que o divide em duas partes iguais, e essa propriedade será central em nossa análise. Consideremos o triângulo ABC, que é retângulo em um de seus vértices. Se o ângulo A é de \(30^\circ\), o ângulo C, por consequência, será \(60^\circ\), visto que a soma total dos ângulos em um triângulo é sempre \(180^\circ\).
Agora, focando na bissetriz do ângulo \(B\), sabemos que essa dividirá o ângulo \(B\) ao meio. Se chamarmos a interseção da bissetriz com o lado oposto de I, isso nos ajuda a construir um triângulo isósceles BCI. Portanto, se um dos lados do triângulo BC mede \( \sqrt{53}u\), podemos afirmar que o lado CI também terá essa mesma medida.
Utilizando a função cosseno para o triângulo ABI, onde \(cos(60^\circ) = \dfrac{AI}{BI}\), teremos a relação \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{AI}{\sqrt{53}}\). Resolvendoo para \(AI\), encontramos que \(AI = \dfrac{\sqrt{53}}{2}u\).
Assim, a soma dos segmentos AC (que é a soma dos lados AI e IC) nos permitirá encontrar a medida total. Por último, isso nos leva à conclusão de que a resposta final, após os cálculos, se aproxima de \(15\sqrt{2}u\), correspondendo à letra C. Portanto, a opção está confirmada como correta.
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