Questão FC190624
Os lados de um triângulo retângulo são 3 números naturais consecutivos, de forma que seu perímetro mede 24 cm. Qual é a medida da hipotenusa desse triângulo?
Geometria Plana
Instituto AOCP · 2024
- 6 cm.
- 8 cm.
- 10 cm.
- 12 cm.
- 15 cm.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a ideia de um triângulo retângulo cujos lados são formados por números naturais consecutivos. Imagine que esses lados podem ser expressos como x, x+1 e x+2. Sabendo que o perímetro deste triângulo é de 24 cm, temos a seguinte equação:
x + (x + 1) + (x + 2) = 24.
Simplificando, encontramos 3x + 3 = 24. Isolando x, temos:
3x = 24 - 3,
o que resulta em 3x = 21, levando a x = 7. Assim, os lados se tornam 7, 8 e 9 cm. Mas espera aí! Quando aplicamos o Teorema de Pitágoras, precisamos verificar se esse triângulo realmente é retângulo:
9² = 7² + 8² nos dá 81 = 49 + 64 que dá 81 ≠ 113. Portanto, ele não é um triângulo retângulo.
Precisamos então considerar números naturais consecutivos pares. Assim, tentemos com x, x + 2 e x + 4. A nova equação é x + (x + 2) + (x + 4) = 24. Aqui temos 3x + 6 = 24, que se rearranja para 3x = 18, resultando em x = 6. Isso nos dá os lados 6, 8 e 10 cm, onde, ao aplicar o Teorema de Pitágoras:
10² = 6² + 8², verificamos 100 = 36 + 64, assim obtendo 100 = 100. Conclusão: temos um triângulo retângulo com lados 6, 8 e 10 cm; portanto, a resposta correta é Letra C.
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