Questão FC190630
Considere um triângulo de base igual a bt=4l e altura ht=l−1 e um retângulo de base br=l e altura hr=l+2. Assinale a alternativa na qual o valor de l faria a área do triângulo ser
Geometria Plana
Instituto AOCP · 2023
- l<4
- l>0
- 0 <l < 4
- l>4
- l ≠ 4
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a alternativa correta é a que foi escolhida, precisamos analisar cuidadosamente as áreas em questão.
Vamos começar recordando que a área de um triângulo pode ser expressa através da fórmula \( A_t = \frac{base \times altura}{2} \). Especificamente, aqui estamos lidando com um triângulo cuja base é \( 4l \) e altura \( (l - 1) \), resultando em \( A_t = \frac{4l \times (l-1)}{2} = 2l \times (l-1) \).
Por outro lado, a área do retângulo é definida como \( A_r = base \times altura \), e no nosso caso, temos \( A_r = l \times (l + 2) \).
O nosso objetivo agora é determinar quando a área do triângulo se torna maior que a do retângulo, ou seja, queremos resolver a desigualdade \( 2l \times (l-1) > l \times (l+2) \).
Imaginando \( l \neq 0 \), podemos simplificar dividindo ambos os lados por \( l \). Isso nos leva a \( 2 \times (l - 1) > l + 2 \). Por termos multiplicado por um número positivo, a direção da desigualdade se mantém.
Agora, ao expandir e reorganizar a inequação, obtemos \( 2l - 2 > l + 2 \), o que resulta em \( l > 4 \). Portanto, podemos concluir que, para valores de \( l \) maiores que 4, a área do triângulo superará a do retângulo, confirmando a escolha do gabarito como correta.
Assim, compreendemos que a condição necessária para a superioridade da área do triângulo é que \( l \) seja maior que 4.
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