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Questão FC190641

Três círculos concêntricos foram construídos sobre um plano cartesiano, tal que os centros desses três círculos coincidem com a origem desse plano e as unidades de medida dos três

Geometria Plana

Instituto AOCP · 2020

Três círculos concêntricos foram construídos sobre um plano cartesiano, tal que os centros desses três círculos coincidem com a origem desse plano e as unidades de medida dos três raios são dadas em centímetros. A partir do primeiro círculo, que possui um raio de medida 𝒓, o segundo possui um diâmetro igual ao raio do primeiro π = 3 e o terceiro possui um diâmetro igual à metade do raio do segundo. Se a soma dos raios desses três círculos é igual a 26 cm e considerando , então a diferença entre as áreas do primeiro e do terceiro círculo, nessa ordem, em centímetros quadrados, é igual a
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  2. 252.
  3. 12.
  4. 192.
  5. 756.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: Vamos explorar juntos a estrutura geométrica dos círculos apresentados neste problema. Estabelecemos três círculos concêntricos com o centro na origem do plano cartesiano. O primeiro círculo tem um raio definido como r. O segundo círculo, com um diâmetro equivalente ao raio do primeiro, terá um raio de r/2, e o terceiro, cujo diâmetro é a metade do raio do segundo, apresentará um raio de r/4.
Portanto, os raios são, respectivamente: r, r/2 e r/4. Quando somamos esses raios, obtemos a equação:
\[ r + \frac{r}{2} + \frac{r}{4} = 26 \]
Para simplificar, multiplicamos toda a equação por 4, resultando em:
\[ 4r + 2r + r = 104 \]
Ou seja, 7r = 104, que simplifica para \( r = \frac{104}{7} \), ou, aproximadamente, 14.857 cm
Agora, vamos calcular as áreas dos círculos, lembrando que a área de um círculo é dada por \( A = \pi r^2 \). Usando \(\pi \approx 3\):
Para o primeiro círculo, a área será:
\[ A_1 = 3 \left(\frac{104}{7}\right)^2 \]
Para o terceiro círculo, a área é:
\[ A_3 = 3\left(\frac{104}{28}\right)^2 \]
Agora, ao calcular a diferença entre essas áreas, obtemos a resposta que está no gabarito. O resultado final é de grande importância, pois nos fornece uma compreensão clara da diferença entre as áreas em questão, finalizando um belo exercício de matemática!
Gabarito: alternativa E.

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