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Questão FC190646

Certa quantidade Q de óleo vegetal está acondicionada em um reservatório cilíndrico C1 cuja base circular tem raio igual a R. Sabe-se que a altura da coluna de óleo que ocupa o res

Geometria Espacial

Instituto AOCP · 2024

Certa quantidade Q de óleo vegetal está acondicionada em um reservatório cilíndrico C1 cuja base circular tem raio igual a R. Sabe-se que a altura da coluna de óleo que ocupa o reservatório é igual a 8 m. Por conta de uma manutenção nesse reservatório, todo o óleo vegetal deve ser transferido do reservatório C1 para o reservatório C2, também cilíndrico, inicialmente vazio, cuja base circular tem raio igual a 2,5R. Nesse contexto, considerando a transferência de todo conteúdo de C1 para C2, a altura ocupada pelo óleo vegetal em C2, em metros, é igual a
  1. 0,98.
  2. 1,08.
  3. 1,18.
  4. 1,28.
  5. 1,38
Mostrar resposta e comentário

Gabarito

D

Comentário do professor

Comentário: Para compreender por que o gabarito está correto, vamos explorar a relação entre o volume do óleo e a geometria dos cilindros envolvidos.
Começamos com o cilindro C1, que possui um raio de base de R e uma altura de 8m, permitindo-nos calcular o volume do óleo nesse cilindro usando a fórmula do volume de um cilindro:
V = A_b \cdot h, onde A_b é a área da base circular. Assim, temos:
V = \pi \cdot R^2 \cdot 8 = 8\pi R^2.
Este é o volume total de óleo que será transferido para o cilindro C2, que possui um raio de base maior, especificamente 2,5R. Nossa próxima tarefa é determinar a nova altura que o óleo ocupará ao ser transferido para C2.
Novamente, aplicamos a fórmula do volume: V = A_b \cdot h_2, onde agora A_b = \pi \cdot (2,5R)^2. Assim, temos:
8\pi R^2 = \pi \cdot (2,5R)^2 \cdot h_2.
Simplificando, obtemos: 8\pi R^2 = \pi \cdot 6,25R^2 \cdot h_2.
Os \pi R^2 podem ser cancelados dos dois lados, resultando em:
8 = 6,25 \cdot h_2, e ao simplificar, encontramos: h_2 = \frac{8}{6,25} = 1,28m.
Portanto, a altura do óleo no cilindro C2 de fato equivale a 1,28m, corroborando com a resposta que indicamos como correta.
Isso nos mostra como a conservação de volume se aplica em diferentes formas geométricas, um conceito fundamental na matemática aplicada!

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