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Questão FC190651

Um paralelepípedo reto-retângulo é uma figura geométrica espacial semelhante a uma caixa de leite e, em geral, identificamos suas medidas como comprimento, largura e altura. Uma es

Geometria Espacial

Instituto AOCP · 2023

Um paralelepípedo reto-retângulo é uma figura geométrica espacial semelhante a uma caixa de leite e, em geral, identificamos suas medidas como comprimento, largura e altura. Uma esfera é uma figura geométrica espacial semelhante a uma bola de futebol e, em geral, a identificamos usando a medida de seu raio. Considere que, inicialmente, uma esfera S1 e um paralelepípedo reto-retângulo P1 tenham o mesmo volume. Em relação ao paralelepípedo P1, aumentamos a medida do seu comprimento em 25% e a medida de sua largura em 20%, sem alterar a medida da sua altura, dando origem ao paralelepípedo P2. Em relação à esfera S1, aumentamos seu raio em 20%, dando origem à esfera S2. Sobre os novos volumes, é correto afirmar que
  1. o volume da esfera S2 é maior que o volume do paralelepípedo P2.
  2. o volume do paralelepípedo P2 é maior que o volume da esfera S2.
  3. o volume do paralelepípedo P2 é igual ao volume da esfera S2.
  4. o volume do paralelepípedo P2 é 45% maior que o volume do paralelepípedo P1.
  5. o volume da esfera S2 é 20% maior que o volume da esfera S2.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Comentário: Nesta questão, devemos entender como as alterações nas dimensões de um paralelepípedo e de uma esfera impactam seus volumes.
Para começar, o volume do paralelepípedo inicial, digamos \( P_1 \), é calculado pela fórmula \( V_{P_1} = c \cdot l \cdot h \), onde \( c \), \( l \) e \( h \) representam comprimento, largura e altura, respectivamente.
Quando aumentamos o comprimento em 25% e a largura em 20%, o novo volume do paralelepípedo \( P_2 \) se torna \( V_{P_2} = 1,25c \cdot 1,2l \cdot h = 1,5 \cdot V_{P_1} \).
Agora, focando na esfera, que tem um volume dado por \( V_{S_1} = \frac{4}{3} \pi r^3 \), ao aumentarmos o raio em 20%, obtemos \( V_{S_2} = \frac{4}{3} \pi (1,2r)^3 = 1,728 \cdot V_{S_1} \).
Comparando os volumes após as modificações, notamos que \( V_{S_2} = 1,728 \cdot V_{S_1} \) e \( V_{P_2} = 1,5 \cdot V_{P_1} \).
Como \( 1,728 > 1,5 \), concluímos que o volume da esfera \( S_2 \) é de fato maior que o volume do paralelepípedo \( P_2 \).
Assim, a alternativa correta é a letra A: o volume da esfera \( S_2 \) é maior que o volume do paralelepípedo \( P_2 \).

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