Questão FC190654
Considere um cubo C, de aresta “c” e um paralelepípedo reto retângulo P, de arestas “x”; “y” e “z”, dadas de tal maneira que a sequência (x, y, z) seja uma progressão aritmética de
Geometria Espacial
Instituto AOCP · 2022
vezes o volume de P, determine o valor de “c”, em unidades de comprimento, e assinale a alternativa correta.- 24
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Gabarito
B
Comentário do professor
Análise da Questão: Para compreendermos essa questão, devemos iniciar pela relação entre as dimensões do paralelepípedo, que neste caso se organizam em uma sequência aritmética (PA). Considerando que a razão da PA é 3, podemos simbolizar as dimensões como:
\( (x-3, x, x+3) \)
Agora, a diagonal dessa figura tridimensional é calculada através da fórmula:
\( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)
onde \( a, b, c \) representam as dimensões do paralelepípedo. Sabendo que a diagonal mede \( \sqrt{210} \) e substituindo as dimensões, temos:
\( d = \sqrt{(x-3)^2 + x^2 + (x+3)^2} = \sqrt{210} \)
Expandindo os termos dentro da raiz, chegamos a:
\( (x^2 - 6x + 9) + x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 210 \)
Simplificando essa expressão, obtemos:
\( 3x^2 + 18 = 210 \)
Resolvendo, temos:
\( 3x^2 = 210 - 18 \)
\( 3x^2 = 192 \)
Isso resulta em: \( x^2 = 64 \) e, portanto, \( x = 8 \, \text{u.c.} \)
Assim, as dimensões finais são \( 5, 8, 11 \, \text{u.c.} \)
Por fim, o volume do paralelepípedo é calculado pela multiplicação de suas dimensões:
\( V_p = 5 \times 8 \times 11 = 440 \, \text{u.v.} \)
Considerando ainda que um cubo possui volume definido pela aresta ao cubo, podemos afirmar que:
\( V_c = \frac{200}{11} \times 440 = 8000 \, \text{u.v.} \)
Logo, calculamos a aresta do cubo:
\( c^3 = 8000 \implies c = \sqrt[3]{8000} = 20 \, \text{u.m.} \)
Resposta correta: letra B.
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