Questão FC190656
Qual é a soma de todos os vértices dos Poliedros regulares que NÃO têm faces triangulares?
Geometria Espacial
Instituto AOCP · 2022
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comentário: Para compreender a questão apresentada, vamos explorar os poliedros regulares e suas características fascinantes. Existem cinco tipos de poliedros regulares, cada um com faces que possuem um formato específico. São eles: o tetraedro com 4 faces triangulares, o hexaedro com 6 faces quadradas, o octaedro com 8 faces triangulares, o dodecaedro com 12 faces pentagonais e, por último, o icosaedro com 20 faces triangulares. Vamos focar, em particular, naquelas figuras sem faces triangulares, que são o hexaedro e o dodecaedro.
Ao analisarmos o hexaedro regular, que possui 6 faces quadradas, inicialmente podemos pensar que ele teria \( 6 \times 4 = 24 \) arestas. No entanto, cada aresta é compartilhada por duas faces, portanto, devemos dividir essa contagem por dois, resultando em um total de \( A = \frac{24}{2} = 12 \) arestas. Em seguida, usando a fórmula de Euler, que nos diz que \( V + F = A + 2 \), onde \( V \) é o número de vértices e \( F \) o número de faces, temos:
V + 6 = 12 + 2, o que nos dá \( V = 8 \) vértices.
Agora, vamos aplicar a mesma lógica ao dodecaedro: com 12 faces, cada uma pentagonal, inicialmente contaríamos \( 12 \times 5 = 60 \) arestas. Assim, dividimos por 2, resultando em \( A = \frac{60}{2} = 30 \) arestas. Aplicando novamente a fórmula de Euler, obtemos:
V + 12 = 30 + 2, levando a \( V = 20 \) vértices.
Finalmente, somando os vértices dos poliedros que não possuem faces triangulares, temos 8 (hexaedro) + 20 (dodecaedro) = 28. Portanto, a resposta correta é a alternativa A.
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