Questão FC190657
Um sólido geométrico é formado por 12 faces triangulares, 15 faces quadradas e 8 faces pentagonais. Assim, o número de vértices desse sólido geométrico é
Geometria Espacial
Instituto AOCP · 2022
- 68.
- 56.
- 42.
- 36.
- 35.
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Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a relação entre as faces, arestas e vértices do sólido em questão! Começamos identificando as faces: nosso sólido tem 12 faces triangulares, 15 faces quadradas e 8 faces pentagonais. Isso nos leva a calcular o total de faces:
\( F = 12 + 15 + 8 = 35 \, \text{faces} \)
Agora, precisamos averiguar o número de arestas que essas faces geram. As faces triangulares nos mostram que temos 3 arestas por face:
\( 12 \times 3 = 36 \, \text{arestas} \)
As quadradas, por sua vez, apresentam 4 arestas cada:
\( 15 \times 4 = 60 \, \text{arestas} \)
Por último, as pentagonais trazem 5 arestas cada:
\( 8 \times 5 = 40 \, \text{arestas} \)
Somando todas as arestas, obtemos:
\( 36 + 60 + 40 = 136 \, \text{arestas} \)
No entanto, é crucial notar que cada aresta foi contada duas vezes, pois ela pertence a duas faces distintas. Assim, devemos dividir o total por 2:
\( A = \frac{136}{2} = 68 \, \text{arestas} \)
Agora, com a quantidade de faces e arestas, podemos aplicar a famosa Relação de Euler para poliedros convexos, que é dada por:
\( V + F = A + 2 \)
Substituindo os valores que encontramos:
\( V + 35 = 68 + 2 \)
Resolvendo essa equação, encontramos:
\( V + 35 = 70 \)
Portanto, isolando \( V \):
\( V = 70 - 35 \)
\( V = 35 \, \text{vértices} \)
E assim, finalizamos nossa jornada matemática e encontramos a resposta correta que é a letra E!
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