Questão FC190673
Considere o triângulo ABC tal que: o vértice A pertence ao eixo x; o vértice B pertence ao eixo y; a reta tem equação x – y = 0; a reta tem equação x + 2y – 3 = 0. Nessas condições
Geometria Analítica
Instituto AOCP · 2022
tem equação x – y = 0; a reta 
tem equação x + 2y – 3 = 0. Nessas condições, o perímetro desse triângulo, em unidades de comprimento, é- 3 + √3 + √7
- 3 + √2 + √7
- 3 + √5 + √7
- 3 + √3 + √5
- 3 + √2 + √5
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar com atenção como chegamos à resposta correta.
Inicialmente, precisamos identificar os pontos do triângulo que estamos analisando.
O ponto B, por exemplo, está locateado no eixo vertical, ou seja, sua coordenada x é igual a zero.
A partir disso, ao substituirmos na equação da reta que passa por B e C, que expressamos como \( x - y = 0 \), podemos facilmente estabelecer que:
\( 0 - y_B = 0 \) nos leva a concluir que y_B = 0. Portanto, temos o ponto B nas coordenadas B(0,0).
Agora, vamos investigar o ponto A, que reside no eixo horizontal. Para isso, usamos a equação da reta AC, cujo formato é \( x + 2y - 3 = 0 \). Tendo em mente que y_A = 0, ao substituir na equação, obtemos:
\( x + 2 \cdot 0 - 3 = 0 \), levando a encontrar que x_A = 3. Assim, o ponto A se torna A(3,0).
Para o ponto C, precisamos descobrir onde as duas retas intersectam. Considerando que a reta BC tem a condição \( x = y \), substituímos na equação de AC:
\( x + 2x - 3 = 0 \). Resolvendo isso, temos 3x = 3, resultando em \( x_C = 1 \) e consequentemente y_C = 1, o que nos fornece o ponto C nas coordenadas C(1,1).
Com todos os pontos em mãos, podemos agora calcular o perímetro do triângulo ABC. A fórmula para o perímetro é a soma dos comprimentos dos lados:
\( P = d_{AB} + d_{BC} + d_{AC} \). Calculando cada lado, obtemos:
\( d_{AB} = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3 \),
\( d_{BC} = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2} \), e
\( d_{AC} = \sqrt{(3-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5} \). Portanto, o perímetro final se torna:
\( P = 3 + \sqrt{2} + \sqrt{5} \), resultando na alternativa correta: Letra E.
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