Questão FC190674
Considere as retas r e s de equações kx + y + 5 = 0 e 2x + (k+1)y – 9 = 0, respectivamente. A razão entre o valor de k, tal que r seja perpendicular a s, e o valor de k, tal que r
Geometria Analítica
Instituto AOCP · 2021
- 3 ou -6.
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Comentário do professor
Análise da Questão: Vamos explorar as propriedades das retas r e s de forma a compreender adequadamente a relação entre elas. Primeiramente, precisamos encontrar a equação reduzida para ambos os casos. Para a reta r, partindo da equação kx + y + 5 = 0, reorganizamos para obter y = -kx - 5. Aqui, o coeficiente angular, que define a inclinação da reta, é mr = -k.
Em seguida, vamos considerar a reta s com a equação 2x + (k + 1)y - 9 = 0. Após rearranjar, encontramos (k + 1)y = -2x + 9, e isolando y, temos y = -\frac{2}{k + 1}x + \frac{9}{k + 1}. Assim, o coeficiente angular para a reta s é ms = -\frac{2}{k + 1}.
Para que as retas sejam perpendiculares, a multiplicação de seus coeficientes angulares deve nos dar -1. Portanto, estabelecemos a equação: mr \cdot ms = -1, que se traduz em (-k) \cdot \left(-\frac{2}{k + 1}\right) = -1. A partir daí, simplificamos para encontrar 2k = -k - 1, resultando em k = -\frac{1}{3}.
Por outro lado, se quisermos paralelismo, os coeficientes angulares devem ser iguais, ou seja, mr = ms, levando-nos a -k = -\frac{2}{k + 1} e, após algumas manipulações, chegamos à equação k^{2} + k - 2 = 0. Através da aplicação da Fórmula de Bháskara para calcular as raízes, encontramos k = -2 e k = 1.
Logo, a razão entre os valores de k que garantem as condições de perpendicularidade e paralelismo resultam em: \(-\frac{1}{3} : -2 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{-2} = \frac{1}{6}\) ou \(-\frac{1}{3} : 1 = -\frac{1}{3}\). Assim, obtivemos a resposta correta, representada pela alternativa letra E.
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