Questão FC190676
Um possível valor de 𝒌 para que a reta t : x−y+k = 0 seja tangente à circunferência λ : x2 + y2 −4x + 2 = 0 é
Geometria Analítica
Instituto AOCP · 2020
- 4.
- 2.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para determinar os valores de k que fazem com que a reta definida por t: x - y + k = 0 seja tangente à circunferência expressa por λ: x² + y² - 4x + 2 = 0, precisamos inicialmente reescrever a equação da reta em termos de y: y = x + k.
A próxima etapa consiste em substituir y na equação da circunferência, levando a:
\( x^2 + (x + k)^2 - 4x + 2 = 0 \).
Expandindo essa expressão, obtemos 2x² + (2k - 4)x + (k² + 2) = 0, que é uma equação quadrática em x.
Para que a reta toque a circunferência em exatamente um ponto, a condição que deve ser satisfeita é que o discriminante dessa equação quadrática seja zero. Assim, o discriminante é dado por:
\( \Delta = (2k - 4)² - 4 \times 2 \times (k² + 2) \).
Simplificando, chegamos à forma: \( \Delta = -4k² - 16k \).
Para que exista apenas uma interseção, solucionamos a equação \( -4k² - 16k = 0 \), resultando nos valores k = 0 e k = -4.
Desta forma, confirmamos que esses são os únicos valores que garantem que a reta seja tangente à circunferência, justificando a alternativa correta como alternativa E.
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