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Questão FC190681

Dadas as bases β = {(1,1),(0,1)} de R2 e δ = {(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1)} de R3, assinale a alternativa que apresenta a transformação linear T: R2 →R3 cuja matriz é

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

Instituto AOCP · 2022

Dadas as bases β = {(1,1),(0,1)} de R2 e δ = {(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1)} de R3, assinale a alternativa que apresenta a transformação linear T: R2 →R3 cuja matriz é 
  1. T(x, y) = (x, -x + 9y, -x - 3y)
  2. T(x, y) = (x, -x - 9y, x - 3y)
  3. T(x, y) = (x, -10x + 9y, -4x + 3y)
  4. T(x, y) = (x, -x + 9y, -4x + 3y)
  5. T(x, y) = (x, -10x + 9y, 4x - 3y)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Ao analisarmos a questão proposta, somos apresentados a uma matriz de transformação linear que desempenha um papel crucial na conversão entre as bases \(\beta\) e \(\delta\). A matriz em si descreve como os vetores da base \(\beta\) podem ser transformados para a base \(\delta\), com cada coluna da matriz representando as coordenadas do vetor resultante correspondente.

No caso específico, temos:
\([T]_{\delta \beta} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\). Isso implica que \(\mathbf{T(1, 1)} = (0, -1, -1)\) e \(\mathbf{T(0, 1)} = (2, 0, 3)\).

Com isso em mente, podemos deduzir que a transformação linear pode ser expressa através de uma combinação linear dos componentes \(x\) e \(y\) dos vetores em \(\mathbb{R}^2\), o que se traduz na forma: \(T(x, y) = (ax + by, cx + dy, ex + fy)\).

Implementando os resultados obtidos para os vetores da base \(\beta\), chegamos a um sistema de equações que nos permitirá determinar os coeficientes \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) e \(f\).

Assim, ao resolver as equações \(a + b = 1\), \(c + d = -1\) e \(e + f = -1\) para \(\mathbf{T(1, 1)}\) e \(b = 0\), \(d = 9\), \(f = 3\) para \(\mathbf{T(0, 1)}\), obtemos os valores necessários para os coeficientes.

Isso nos leva à conclusão de que a transformação linear desejada pode ser expressa em formato simplificado como:
\(T(x, y) = (x, -10x + 9y, -4x + 3y)\).

Portanto, a ardente análise nos leva à resposta correta: Letra C, a qual é uma representação precisa da transformação que estamos considerando.

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