Um quadrado é cortado em 49 quadrados menores. Todos esses quadrados têm as medidas de seus lados, em centímetros, expressas por números inteiros positivos. Há exatamente 48 quadra

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é a que indica que existem 2 resultados possíveis para a área do quadrado original.

Temos um quadrado cortado em 49 quadrados menores, sendo que 48 desses têm área igual a 1 cm². Portanto, a área desses 48 quadrados é:

\(48 \times 1 = 48 \, cm^2\)

Agora, o quadrado restante, o 49º, possui uma área de \(b^2\), onde \(b\) é a medida do lado deste quadrado menor. Assim, a área total do quadrado original deve ser igual à soma das áreas dos pequenos quadrados:

\(48 + b^2 = c^2\)

onde \(c\) é o lado do quadrado original e \(c^2\) é a área do quadrado original. Reorganizando a equação, obtemos:

\(c^2 - b^2 = 48\)

Isso pode ser fatorado como:

\((c - b)(c + b) = 48\)

Aqui, \(c - b\) e \(c + b\) são dois fatores da área 48. Sabemos que esses fatores precisam ser pares, uma vez que a soma e a diferença de dois números ímpares seria par, e 48 é par. Portanto, precisamos encontrar pares de fatores pares que resultem em 48.

Os fatores pares de 48 são:

• (2, 24)
• (4, 12)
• (6, 8)

Analisando cada par:

1ª opção: (2, 24)

Isso resulta em:

\(c - b = 2\)

\(c + b = 24\)

Resolvendo, temos:

\(c = 13\) e \(b = 11\)

Isso é uma solução válida.

2ª opção: (4, 12)

Isso resulta em:

\(c - b = 4\)

\(c + b = 12\)

Resolvendo, temos:

\(c = 8\) e \(b = 4\)

Isso também é uma solução válida.

As áreas correspondentes para o quadrado original, usando as soluções encontradas, são:

1. Para \(c = 13\): \(c^2 = 169 \, cm^2\)

2. Para \(c = 8\): \(c^2 = 64 \, cm^2\)

Portanto, temos exatamente 2 resultados possíveis para a área do quadrado original, que são 64 cm² e 169 cm².

Assim, a resposta correta é a alternativa B.