Na reta numérica real a seguir, X é ponto médio do segmento AB. O ponto X corresponde ao número real

Gabarito

B

Comentário do professor

Para compreender a alternativa correta, que é \(\sqrt{54}\), devemos primeiro entender o conceito de ponto médio.

O ponto médio entre dois números \(x_1\) e \(x_2\) na reta numérica é dado pela fórmula:

\(x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\)

Neste problema específico, temos os pontos \(A = \sqrt{24}\) e \(B = \sqrt{96}\).

Vamos aplicar a fórmula do ponto médio:

\(x = \dfrac{\sqrt{24} + \sqrt{96}}{2}\)

Agora, precisamos simplificar as raízes para facilitar a soma:

Primeiro, fatorando \(\sqrt{24}\) e \(\sqrt{96}\):

\(\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\)

\(\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}\)

Substituindo essas simplificações na fórmula do ponto médio, obtemos:

\(x = \dfrac{2\sqrt{6} + 4\sqrt{6}}{2}\)

Agora, somando os termos no numerador:

\(x = \dfrac{6\sqrt{6}}{2}\)

Simplificando, encontramos:

\(x = 3\sqrt{6}\)

Por fim, notamos que \(3\sqrt{6}\) pode ser reescrito como:

\(3\sqrt{6} = \sqrt{(3^2) \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}\)

Dessa forma, temos que o ponto médio \(X\) é igual a \(\sqrt{54}\), que é a alternativa correta.