O número natural (2103 + 2102 + 2101 - 2100) é divisível por

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Analisando o número natural \(2^{103} + 2^{102} + 2^{101} - 2^{100}\), podemos simplificá-lo para identificar seus fatores.

Primeiro, vamos colocar \(2^{100}\) em evidência:

\[2^{103} + 2^{102} + 2^{101} - 2^{100} = 2^{100} \times (2^3 + 2^2 + 2^1 - 1)\]

Agora, vamos calcular a expressão dentro dos parênteses:

\[2^3 + 2^2 + 2^1 - 1 = 8 + 4 + 2 - 1 = 13\]

Assim, substituindo na equação original, temos:

\[2^{100} \times 13\]

Isso indica que nosso número é \(2^{100} \times 13\). Agora, observe que \(2^{100}\) é claramente divisível por \(2\), e ao multiplicarmos por \(13\), obtemos também a divisão por \(13\).

O próximo passo é verificar a divisibilidade por \(26\). O número \(26\) é o produto de \(2\) e \(13\):

\[26 = 2 \times 13\]

Como nosso número \(2^{100} \times 13\) é divisível tanto por \(2\) quanto por \(13\), pela regra dos fatores, ele também é divisível por \(26\).

Portanto, a alternativa correta é 26.