A terça parte do número real \(\dfrac {81^{0,25} \cdot \bigl ( 3^2 \bigr )^{20} \cdot 3^{5^2}} {\Bigl ( \dfrac 1 {243}\Bigr )^{12}}\) é igual a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos entender a alternativa correta, que é \( 3^{125} \).

Primeiro, analisamos a expressão inicial:

\(\dfrac {81^{0,25} \cdot \bigl ( 3^2 \bigr )^{20} \cdot 3^{5^2}} {\Bigl ( \dfrac 1 {243} \Bigr )^{12}}\).

Calculamos cada parte:

• O termo \( 81^{0,25} \) pode ser reescrito como \( 81^{\frac{1}{4}} \). Como \( 81 = 3^4 \), temos \( 81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^1 = 3 \).
• O termo \( (3^2)^{20} \) usa a propriedade das potências, que diz que multiplicamos os expoentes. Assim, \( (3^2)^{20} = 3^{2 \cdot 20} = 3^{40} \).
• Para \( 3^{5^2} \), primeiro resolvemos \( 5^2 = 25 \). Portanto, temos \( 3^{25} \).
• Agora, transformamos \( \dfrac{1}{243} \). Note que \( 243 = 3^5 \), logo, \( \dfrac{1}{243} = \dfrac{1}{3^5} = 3^{-5} \). Portanto, \(\left(\dfrac{1}{243}\right)^{12} = (3^{-5})^{12} = 3^{-5 \cdot 12} = 3^{-60}\).

Agora, substituímos os resultados na expressão:

\(= \dfrac{3 \cdot 3^{40} \cdot 3^{25}}{3^{-60}} = 3 \cdot 3^{40} \cdot 3^{25} \cdot 3^{60}\).

Ao multiplicar potências de mesma base, somamos os expoentes:

\(= 3^{1 + 40 + 25 + 60} = 3^{126}\).

Como a questão pede a terça parte desse número, calculamos:

\(\dfrac{3^{126}}{3} = 3^{126 - 1} = 3^{125}.\)

Portanto, a alternativa correta é \( 3^{125} \).