Se \(xy = 2\), então a expressão \(P= {\large{(x^2+1) \over x}}{\large{(y^2+1) \over y}}+{\large{(x^2-1) \over y}}{\large{(y^2-1) \over x}}\) assume o valor

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a expressão dada de forma detalhada para chegar à resposta correta, que é \(5\).

A expressão \( P \) é apresentada como:

\( P = \dfrac{(x^2+1)}{x} \cdot \dfrac{(y^2+1)}{y} + \dfrac{(x^2-1)}{y} \cdot \dfrac{(y^2-1)}{x} \)

Como sabemos que \( xy = 2 \), podemos reescrever a expressão de maneira mais simples. Primeiro, substituímos \( xy \) por \( 2 \) nas frações:

\( P = \dfrac{(x^2+1)(y^2+1)}{xy} + \dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy} \)

Simplificando, obtemos:

\( P = \dfrac{(x^2+1)(y^2+1) + (x^2-1)(y^2-1)}{xy} \)

Agora, vamos aplicar a distributiva nas somas presentes no numerador:

\( P = \dfrac{x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 + x^2y^2 - x^2 - y^2 + 1}{xy} \)

Ao simplificar, percebemos que os termos \( x^2 \) e \( y^2 \) se cancelam:

\( P = \dfrac{2x^2y^2 + 2}{xy} \)

Substituindo aqui \( xy \) por \( 2 \) novamente, temos:

\( P = \dfrac{2 \cdot (xy)^2 + 2}{xy} \)

Calculando \( (xy)^2 \) com \( xy = 2 \):

\( (xy)^2 = 4 \)

Portanto, nossa expressão para \( P \) se torna:

\( P = \dfrac{2 \cdot 4 + 2}{2} \)

Isso simplifica para:

\( P = \dfrac{8 + 2}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \)

Assim, confirmamos que o valor de \( P \) é \( 5 \), o que corresponde à alternativa correta (D).