Em 2025, um certo campeonato de futebol contará com um total de T times, sendo um deles o campeão do ano anterior. Suponha que exista um esquema de apostas em que são escolhidos ap

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta D, que expressa o número de apostas diferentes possíveis onde o campeão do ano anterior não é considerado. Para tanto, precisamos entender a quantidade total de times e a restrição imposta.

Temos um total de T times, e um deles é o campeão do ano anterior, que não pode ser escolhido. Portanto, restam T-1 times para efetuar nossas apostas.

Ao calcular o número de apostas, estamos interessados em escolher 2 times entre os T-1 disponíveis para ocupar as posições de campeão e vice-campeão. A ordem importa, pois "time W para campeão e time Y para vice-campeão" é diferente de "time Y para campeão e time W para vice-campeão". Isso implica que devemos utilizar arranjos.

A fórmula para calcular o número de arranjos de k elementos a partir de n elementos é dada por:

\( A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Aplicando esta fórmula, temos:

\( A_{T-1,2} = \frac{(T-1)!}{(T-1-2)!} \)

Resolvendo essa expressão, obtemos:

\( A_{T-1,2} = (T-1)(T-2) \)

Agora, precisamos expandir essa expressão e fazer as contas:

Multiplicando os fatores, temos:

\( (T-1)(T-2) = T^2 - 2T - T + 2 = T^2 - 3T + 2 \)

Assim, o número total de apostas onde o campeão anterior não figura é dado por:

\( T^2 - 3T + 2 \)

Portanto, a alternativa correta é D: T^2 - 3T + 2, que reflete a quantidade de apostas possíveis sem incluir o campeão anterior. Isso nos ajuda a entender a combinação de times permitida sob as regras do campeonato.