Quantos conjuntos de três bolinhas satisfazem a condição acima?

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que nos diz que existem 1060 conjuntos de três bolinhas com massas distintas que somam 120 g.

Para resolver isso, consideramos que as massas das bolinhas são \(x\), \(y\) e \(z\), onde temos a equação:

\(x + y + z = 120\)

As bolinhas possuem massas que vão de 1 g a 100 g. Portanto, precisamos garantir que os valores de \(x\), \(y\) e \(z\) sejam distintos e que cada um esteja dentro do intervalo permitido.

Inicialmente, podemos encontrar o número total de soluções inteiras não negativas para a equação ajustando as variáveis para considerar que elas começam em 1 g:

\(x = a + 1 \quad y = b + 1 \quad z = c + 1\)

Assim, substituímos na equação e obtemos:

\(a + b + c = 117\)

Agora, podemos utilizar a técnica de pontos e traços para resolver essa nova equação. O número de soluções é dado por:

\(P(117 + 3 - 1, 3 - 1) = \dfrac{119!}{117! \cdot 2!} = \dfrac{119 \cdot 118}{2} = 7021\)

Esse valor, 7021, representa todas as combinações, mas precisamos eliminar aqueles casos em que uma das bolinhas supera a massa de 100 g.

Para deduzir os casos não válidos, consideramos as combinações onde a soma de duas bolinhas é menor ou igual a 19. Analisando essas situações, encontramos que:

Se \(x + y \leq 19\), podemos fazer uma nova equação manipulando a soma.

Finalmente, subtraímos os casos inválidos do total:

\(7021 - 3 \cdot 171 = 6508\)

Depois de eliminar as combinações repetidas (onde as bolinhas não são todas distintas), obtemos o resultado final. Assim, levando em conta as permutações possíveis, dividimos o número total de casos por \(3!\) (o número de maneiras de organizar 3 elementos):

\( \dfrac{6360}{6} = 1060\)

Portanto, a alternativa correta é que existem 1060 conjuntos de bolinhas que podem ser selecionados, satisfazendo a condição de que a soma das suas massas seja igual a 120 g.