Quantas senhas diferentes podem ser montadas por essa pessoa, de modo que X < Y < Z ?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, precisamos entender como montar senhas numéricas com as condições especificadas, ou seja, escolhendo três algarismos dentre os números 1, 2, 3, 4 e 5, respeitando a condição de que X < Y < Z.

Essencialmente, estamos buscando combinações em que a ordem dos algarismos não apenas importa, mas deve respeitar a sequência crescente. Para isso, podemos utilizar o conceito de combinação, pois a mesma sequência numérica pode ser escolhida de diferentes maneiras, mas terá apenas uma forma válida que atende a nossa condição.

Vamos primeiro calcular quantas maneiras de escolher três algarismos (X, Y e Z) a partir do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}:

Como temos 5 algarismos e precisamos selecionar 3, a fórmula para cálculo de combinações é dada por:

\( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

onde \( n \) representa o total de elementos disponíveis e \( k \) é a quantidade de elementos que queremos escolher.

Substituindo os valores:

\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \)

Dessa forma, concluímos que existem 10 maneiras diferentes de escolher 3 números entre 1 e 5, obedecendo à condição estabelecida de que X, Y e Z sejam em ordem crescente.

Assim, a alternativa correta é 10.