Deseja-se arrumar um conjunto de seis bolas coloridas em uma fila, da esquerda para a direita. Nesse conjunto, há três bolas brancas, duas bolas azuis e uma bola vermelha. Duas bol

Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, precisamos calcular o número de arrumações diferentes de um conjunto de 6 bolas, sendo 3 brancas, 2 azuis e 1 vermelha.

Inicialmente, como temos bolas da mesma cor que são consideradas iguais, o método que utilizamos é a permutação com repetição.

A fórmula para calcular a permutação com repetição é:

\( P_n^{k_1, k_2, k_3} = \dfrac{n!}{k_1! \times k_2! \times k_3!} \)

onde:

• \( n \) é o total de elementos (neste caso, 6 bolas),
• \( k_1 \) é a quantidade de um grupo (3 bolas brancas),
• \( k_2 \) é a quantidade de outro grupo (2 bolas azuis),
• \( k_3 \) é a quantidade do terceiro grupo (1 bola vermelha).

Agora, substituímos os valores na fórmula:

\( P_6^{3, 2, 1} = \dfrac{6!}{3! \times 2! \times 1!} \)

Calculando os fatoriais, temos:

• \( 6! = 720 \)
• \( 3! = 6 \)
• \( 2! = 2 \)
• \( 1! = 1 \)

Substituindo estes valores, chega-se a:

\( P_6^{3, 2, 1} = \dfrac{720}{6 \times 2 \times 1} = \dfrac{720}{12} = 60 \)

Portanto, o número total de arrumações diferentes das bolas é 60, confirmando assim a alternativa correta.

Se as bolas de mesma cor fossem consideradas diferentes, a fórmula seria outra, resultando em \( 6! = 720 \), porém, nesse caso, consideramos apenas os arranjos com elementos repetidos.