Considere A o conjunto dos números inteiros maiores que zero, e a função f: A→N definida por f(n)=número máximo de filas indianas diferentes contendo n pessoas, que poderiam ser fo

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para entender a alternativa correta \( n \cdot (n!) \), vamos analisar o problema das filas indianas.

Primeiramente, a função \( f(n) \) nos dá o número de maneiras diferentes de organizar \( n \) pessoas em uma fila. Esse número é dado por fatoriais de \( n \), ou seja:

\( f(n) = n! \)

Agora, considerando uma fila com \( n + 1 \) pessoas, a contagem de filas diferentes é dada por:

\( f(n + 1) = (n + 1)! \)

A diferença entre o número de filas com \( n + 1 \) pessoas e aquelas com \( n \) pessoas pode ser expressa assim:

\( f(n + 1) - f(n) = (n + 1)! - n! \)

Podemos fatorar a expressão da diferença:

\( (n + 1)! - n! = (n + 1) \cdot n! - n! \)

Ao colocar \( n! \) em evidência, obtemos:

\( n! \cdot \left((n + 1) - 1\right) = n! \cdot n \)

Assim, a diferença \( f(n + 1) - f(n) \) é igual a:

\( n \cdot (n!) \)

Portanto, a alternativa correta é \( n \cdot (n!) \), que nos mostra como o crescimento do número de filas indianas se relaciona diretamente com o número de pessoas, multiplicado pelo total de arranjos possíveis entre elas.