Um administrador precisa distribuir cinco tipos de serviços diferentes entre três empresas (A, B e C) já certificadas e autorizadas para prestar qualquer um dos cinco serviços. Par

Gabarito

D

Comentário do professor

Para encontrar o número total de distribuições diferentes dos cinco tipos de serviços entre as três empresas (A, B e C), assegurando que cada empresa receba pelo menos um serviço, precisamos considerar a combinação de várias distribuições possíveis.

Primeiramente, vamos analisar as possíveis distribuição de serviços:

• Uma configuração pode ser 3 serviços para a empresa A, 1 para a empresa B e 1 para a empresa C. Essa distribuição é representada por AAABC.
• Outras combinações incluem 2 serviços para uma empresa, 2 para outra e 1 serviço para a terceira empresa.

Vamos calcular as diferentes formas de fazer essas distribuições. Para a configuração de 3 (A), 1 (B), e 1 (C), utilizamos a fórmula de permutações com elementos repetidos:

\( P_{5}^{3,1,1} = \frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} \)

Calculando:

\( P_{5}^{3,1,1} = \frac{120}{6 \cdot 1 \cdot 1} = 20 \, \text{maneiras} \)

Essa mesma lógica é aplicada para as outras combinações, resultando em:

• 20 maneiras para a distribuição 3 serviços para A, 1 para B e 1 para C.
• 20 maneiras para 3 serviços para B, 1 para A e 1 para C.
• 20 maneiras para 3 serviços para C, 1 para A e 1 para B.
• 30 maneiras para 2 serviços para A, 2 serviços para B e 1 para C.
• 30 maneiras para 2 serviços para A, 2 serviços para C e 1 para B.
• 30 maneiras para 1 serviço para A, 2 serviços para B e 2 serviços para C.

Agora, somamos todas as possíveis distribuições:

\( 20 + 20 + 20 + 30 + 30 + 30 = 150\, \text{maneiras} \)

Assim, o número total de distribuições diferentes dos cinco serviços entre as três empresas, garantindo que todas sejam contempladas com pelo menos um serviço, é igual a 150.