Nessas condições, quantas possibilidades diferentes existem de formação desse grupo de cinco profissionais?

Gabarito

D

Comentário do professor

Para resolver a questão, precisamos determinar quantas formações diferentes de grupos de 5 profissionais podem ser feitas a partir de 4 engenheiros e 5 técnicos, considerando a condição de que o grupo deve conter pelo menos um engenheiro e um técnico.

Primeiramente, vamos calcular o número total de combinações possíveis de grupos de 5 profissionais, independentemente da função (engenheiro ou técnico). Com 4 engenheiros e 5 técnicos, temos um total de 9 pessoas. O número de maneiras de escolher 5 pessoas a partir de 9 é dado pela combinação:

\(C_{9,5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

Após simplificações, encontramos:

\(C_{9,5} = 126\)

No entanto, essa conta inclui grupos que não satisfazem a condição de ter pelo menos um engenheiro e um técnico. Portanto, precisamos excluir esses grupos indesejados.

Observamos que a única formação que não atende à exigência é o grupo que contém apenas técnicos, ou seja, os 5 técnicos. Como temos 5 técnicos disponíveis, há exatamente um grupo formado somente por eles.

Assim, devemos subtrair 1 do total que calculamos:

\(126 - 1 = 125\)

Portanto, o número de possibilidades diferentes para a formação do grupo de 5 profissionais, que inclui pelo menos um engenheiro e um técnico, é de 125.