Quantos lápis de cor cada aluno recebeu?

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos entender a solução proposta pela alternativa correta (E), que afirma que cada aluno recebeu 84 lápis de cor.

Para resolver o problema, primeiro, sabemos que a turma é composta por 10 alunos e que qualquer grupo de 6 alunos não consegue pintar o desenho totalmente, pois falta uma região. Isso implica que essa única região não pode ser pintada por nenhum dos 6 alunos escolhidos, logo, algum aluno entre os restantes deve ter a cor necessária.

Por outro lado, a informação de que qualquer grupo de 7 alunos consegue completar a tarefa indica que, se juntarmos uma das 4 cores faltantes à mistura de 6 alunos, o grupo de 7 estará completo.

Logo, podemos perceber que cada cor deve ser compartilhada por 4 alunos. Trabalhando isso com a combinação de 10 alunos escolhidos 4 a 4, temos:

\( C_{10,4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2} = 210 \)

Portanto, existem 210 regiões no desenho, cada uma representando uma cor diferente.

Como cada cor é compartilhada por 4 alunos, temos que calcular a quantidade total de lápis:

\( 4 \times 210 = 840 \)

Para determinar quantos lápis de cor cada aluno recebe, dividimos o total de lápis pelo número de alunos:

\( 840 \div 10 = 84 \)

Assim, cada aluno recebeu 84 lápis de cor, o que confirma a alternativa correta (E).