Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a questão passo a passo.

Os conjuntos P e Q têm, respectivamente, p e q elementos e sabemos que:

\( p + q = 13 \)

O número de subconjuntos de um conjunto depende da quantidade de elementos que ele possui. Para o conjunto P, o número de subconjuntos é dado por \( 2^p \), e para o conjunto Q, por \( 2^q \).

A questão nos diz que a razão entre o número de subconjuntos de P e Q é 32:

\( \frac{2^p}{2^q} = 32 \)

Pela propriedade das potências, podemos simplificar essa expressão:

\( 2^{p-q} = 32 \)

Como sabemos que \( 32 = 2^5 \), então podemos igualar os expoentes:

\( p - q = 5 \)

Agora temos um sistema de duas equações:

• \( p + q = 13 \)
• \( p - q = 5 \)

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, isolamos p:

\( p = q + 5 \)

Substituindo essa expressão na primeira equação:

\( (q + 5) + q = 13 \)

Resolvendo, obtemos:

\( 2q + 5 = 13 \)

\( 2q = 13 - 5 \)

\( 2q = 8 \)

\( q = 4 \)

Agora que encontramos q, podemos determinar p:

\( p = q + 5 = 4 + 5 \)

\( p = 9 \)

Assim, p e q são 9 e 4, respectivamente. Para encontrar o produto \( pq \):

\( p \times q = 9 \times 4 = 36 \)

Portanto, o produto \( pq \) vale 36, que corresponde à alternativa correta.