Dados três conjuntos M, N e P, tem-se que o conjunto \(M \cap ( N \cup P)\) é igual ao conjunto

Gabarito

D

Comentário do professor

A alternativa correta afirma que \( M \cap (N \cup P) = (M \cap N) \cup (M \cap P) \). Essa expressão se baseia na propriedade distributiva dos conjuntos.

Para compreender essa equivalência, é importante decifrar o que cada lado da equação representa:

O lado esquerdo, \( M \cap (N \cup P) \), trata da interseção do conjunto \( M \) com a união dos conjuntos \( N \) e \( P \). Em outras palavras, estamos buscando os elementos que pertencem ao conjunto \( M \) e também pertencem a pelo menos um dos conjuntos \( N \) ou \( P \).

Por outro lado, o lado direito, \( (M \cap N) \cup (M \cap P) \), descreve a união de dois conjuntos: aqueles elementos que pertencem tanto a \( M \) quanto a \( N \), e aqueles que pertencem tanto a \( M \) quanto a \( P \). Assim, os elementos incluídos neste lado são os que pertencem a \( M \) e a \( N \), ou a \( M \) e a \( P \).

Portanto, a igualdade entre essas duas expressões pode ser facilmente compreendida. Para qualquer elemento \( x \):

• Se \( x \in M \cap (N \cup P) \), então \( x \) está em \( M \) e também em \( N \) ou em \( P \).
• Isso implica que \( x \) deve estar em \( M \cap N \) ou em \( M \cap P \), o que significa que \( x \) está no lado direito.

De maneira inversa, se \( x \in (M \cap N) \cup (M \cap P) \), então \( x \) está em \( M \) e em \( N \), ou em \( M \) e em \( P \). Isso significa que \( x \) também deve estar em \( M \cap (N \cup P) \).

Assim, ambos os lados da equação incluem exatamente os mesmos elementos, confirmando que a alternativa correta é, de fato, a expressa como \( (M \cap N) \cup (M \cap P) \).

Portanto, o gabarito é alternativa D.