Sejam #(X) o número de elementos de um conjunto finito X e A, B e C conjuntos tais que #(A \(\cup\) B) = 12, #(B \(\cup\) C) = 22, #(A \(\cup\) C) = 22, # (A \(\cup\)B \(\cup\)C) =

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para encontrar o valor de \( #(A) + #(B) + #(C) \), utilizamos a fórmula da união de três conjuntos:

\( n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \tag{2}

Substituindo os valores que nos foram dados:

• Sabemos que \( n(A \cup B \cup C) = 24 \);
• Além disso, temos \( n(A \cap B \cap C) = 5 \);
• Para as interseções, coletamos as informações a partir dos pares:
• 1. \( n(A \cup B) = 12 \) nos leva a \( n(A \cap B) = n(A) + n(B) - 12 \);
• 2. \( n(B \cup C) = 22 \) resulta em \( n(B \cap C) = n(B) + n(C) - 22 \);
• 3. \( n(A \cup C) = 22 \) leva a \( n(A \cap C) = n(A) + n(C) - 22 \).

Substituindo todos esses valores na fórmula (2):

\( 24 = n(A) + n(B) + n(C) - (n(A) + n(B) - 12) - (n(B) + n(C) - 22) - (n(A) + n(C) - 22) + 5 \)

Essa simplificação nos dá:

\( 24 = -n(A) - n(B) - n(C) + 12 + 22 + 22 + 5 \)

Isolando \( n(A) + n(B) + n(C) \):

\( n(A) + n(B) + n(C) = 61 - 24 \)

Assim, concluímos que:

\( n(A) + n(B) + n(C) = 37 \)

Portanto, a alternativa correta é a letra E, com um total de 37 elementos nos conjuntos \( A \), \( B \) e \( C \).