Em uma confraternização de final de ano, os funcionários de um banco foram divididos em grupos de cinco funcionários, mas um único funcionário sobrou. Em uma nova tentativa, mas ag

Gabarito

B

Comentário do professor

Para entender a alternativa correta, que é 3, precisamos analisar a situação proposta de forma cuidadosa.

Primeiro, vamos considerar que temos um número total de funcionários X. Sabemos que quando esses funcionários são divididos em grupos de 5, sobra 1 funcionário:

\( X \div 5 = k \quad (resto: 1) \)

Logo, podemos expressar isso matematicamente como:

\( X = 5k + 1 \)

Na segunda parte do problema, quando temos exatamente a metade do número de funcionários, ou seja, \(\frac{X}{2}\), o número de funcionários que sobra, definido como \(N\), é igual a 3:

\( N < 5 \quad e \quad N = 3 \)

Então, se pegarmos \(\frac{X}{2}\) e dividirmos por 5, obtemos:

\( \frac{X}{2} \div 5 = m \quad (resto: 3) \)

Podemos escrever isso também como:

\( \frac{X}{2} = 5m + 3 \)

Para encontrar uma relação entre essas duas equações, vamos multiplicar a segunda equação por 2:

\( X = 10m + 6 \)

Agora temos duas expressões diferentes para X:

\( 5k + 1 = 10m + 6 \)

Se rearranjarmos essa equação, obtemos:

\( 5k - 10m = 5 \)

Dividindo tudo por 5, chegamos a:

\( k - 2m = 1 \)

Agora, tanto \(k\) quanto \(m\) devem ser números inteiros. Seguindo essa lógica, percebemos que, quando falamos de divisões inteiras, podemos facilmente encontrar valores que satisfaçam essa condição.

Através de testes, podemos descobrir que:

Se, por exemplo, considerarmos \(k = 3\) e \(m = 1\):

Então, substituindo:

Para \(X:

\( X = 5(3) + 1 = 16 \)

Para \(\frac{X}{2}\):

\( \frac{16}{2} = 8 \)

Analisando agora:

\( 8 \div 5 = 1\,\,(resto: 3) \)

Portanto, como esperado, sobra 3 funcionários.

Dessa forma, a alternativa correta é 3.